베르누이 정리_{(r2 문단 편집)}

=== 베르누이 정리 ===

[[파일:namu_베르누이_정리_3_NEW.svg|width=400&align=center&bgcolor=#ffffff]]

그림과 같이 단면적과 높이가 변하는 관에 밀도 [math(\rho)]인 유체가 흐르고 있다.

비보존력이 한 일은 물체의 역학적 에너지 증가량과 같다. 즉
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} W=\Delta U+ \Delta T \end{aligned}  )] }}}
[math(U)]는 퍼텐셜 에너지, [math(T)]는 운동 에너지이다.

힘의 크기는 압력의 크기에 면적을 곱함으로써 얻는다. 이로써 [math(\rm A)]와 [math(\rm B)]에 가해지는 힘은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} F_{\rm A}&=P_{\rm A}S_{\rm A} \\F_{\rm B}&=P_{\rm B}S_{\rm B} \end{aligned}  )] }}}
시간 [math(t)] 동안 이 힘이 유체에 한 일은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} W=F_{\rm A}v_{\rm A} t-F_{\rm B} v_{\rm B} t \end{aligned}  )] }}}
이상의 결과를 이용하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} W=P_{\rm A}S_{\rm A}v_{\rm A} t-P_{\rm B}S_{\rm B}v_{\rm B} t \end{aligned}  )] }}}
연속 방정식에 의하여 [math(S_{\rm A}v_{\rm A}=S_{\rm B}v_{\rm B})]이므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} W=(P_{\rm A}-P_{\rm B})S_{\rm A}v_{\rm A} t \end{aligned}  )] }}}
이 일은 유체의 역학적 에너지 변화량과 같은데, [math(\Delta V \equiv S_{\rm A}v_{\rm A} t)]라 놓으면 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} W=(P_{\rm A}-P_{\rm B})\Delta V \end{aligned}  )] }}}
중력 퍼텐셜 에너지 변화량은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta U=\rho \Delta Vg  (h_{\rm B}-h_{\rm A}) \end{aligned}  )] }}}
이고, 운동 에너지 변화량은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta T=\frac{1}{2}\rho \Delta V  (v_{\rm B}^{2}-v_{\rm A}^{2}) \end{aligned}  )] }}}
이상에서 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} (P_{\rm A}-P_{\rm B})\Delta V & =\rho \Delta Vg  (h_{\rm B}-h_{\rm A})+\frac{1}{2}\rho \Delta V  (v_{\rm B}^{2}-v_{\rm A}^{2}) \\ P_{\rm A}-P_{\rm B} & =\rho g (h_{\rm B}-h_{\rm A})+\frac{1}{2}\rho   (v_{\rm B}^{2}-v_{\rm A}^{2}) \end{aligned}  )] }}}
이것을 정리함으로써 다음을 얻는다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned}  P_{\rm A}+\rho g h_{\rm A}+\frac{1}{2}\rho v_{\rm A}^{2} =P_{\rm B}+\rho g h_{\rm B}+\frac{1}{2}\rho v_{\rm B}^{2} \end{aligned}  )] }}}
이것을 베르누이 정리라 한다.

요약

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